Aplicando la Teoría de los Campos Conceptuales a la enseñanza de las Operaciones Aritméticas

Conocer la definición y las propiedades de las operaciones aritméticas, cómo resolverlas, relacionando correctamente los elementos iniciales con el resultado; es muy necesario mas no suficiente.

Como se ha visto, la conceptualización de las operaciones aritméticas tiene mucho que ver con el sentido de que cobran en cada situación. Siendo este el núcleo duro de la propuesta.

En este marco es necesario tener en cuenta a la hora de planificar la intervención docente la necesidad de presentar secuenciadamente diversas situaciones que involucren los distintos sentidos de las operaciones.

Se propone organizar el campo conceptual en dos estructuras que ya fueron mencionadas: el campo de las estructuras aditivas y el de las estructuras multiplicativas. Tal como sugiere Peltier "Desde un punto de vista práctico, es muy compleja la tarea delegada al maestro, que consiste en seleccionar o construir clases de problemas que permitan a los alumnos construir un concepto tal como el de una operación aritmética (…) el parámetro fundamental es la estructura del problema. El análisis de esta estructura, la identificación de la subcategoría dentro de la estructura dada, que es función del elemento que se busca, permite ubicar con precisión los conocimientos en juego, entrever a priori los procedimientos y, en consecuencia, preparar las ayudas que puedan ser necesarias." (el subrayado no es del original).

A continuación se enumeran las diferentes categorías de cada estructura. En el trabajo de Pena (2002) se desarrollan y ejemplifican de manera más exhaustiva.

Estructuras aditivas

Según el tipo de relación entre los elementos se pueden reconocer diferentes tipos de problemas aditivos.

Vergnaud propone la siguiente clasificación, que como se dijo, no se profundizará en ella por lo basta, se deja al lector la tarea:

- Composición de dos medidas: son problemas de reunión o fraccionamiento de colecciones o magnitudes medibles.

- Relación de transformación de estados: se puede identificar un estado inicial y una transformación (positiva o negativa) que opera sobre este estado para llegar a un estado final.

- Relación de comparación aditiva: dos estados relativos a dos magnitudes o localizables se comparan de manera aditiva, donde una de las magnitudes desempeña el papel de referente de la otra

- Las composiciones de transformaciones: dos transformaciones o más se aplican sucesivamente a estados desconocidos. Que no aparece en el currículo escolar, al igual que las siguientes:

- Las composiciones de relaciones

- Las composiciones de transformaciones

Estructuras multiplicativas

En este campo se distinguen:

- La comparación múltiple de magnitudes: una única magnitud y dos estados relativos a esa magnitud son objeto de la comparación multiplicativa: uno representa el papel de referente del otro.

- La proporcionalidad simple: pueden representarse mediante tablas numéricas y están asociadas a una función lineal o a una regla de tres.

- La proporcionalidad simple compuesta: intervienen tres magnitudes, se definen dos relaciones de proporcionalidad simple y la situación conduce a componer estas dos relaciones de proporcionalidad.

- La proporcionalidad doble o múltiple: intervienen dos dominios de magnitudes o más que son independientes, y tales que una relación asocia a una pareja de medidas de cada magnitud una tercera magnitud, llamada magnitud producto.

Aspectos a tener en cuenta para la enseñanza de las Operaciones

Luego de haber explicitado el marco conceptual y referencial didáctico, se presentarán diversos aspectos que deben ser tenidos en cuenta para el abordaje didáctico.


La problematización como estrategia didáctica orientadora.


La secuenciación de las propuestas, de modo de abordar los distintos sentidos de cada una de las operaciones en los dos campos conceptuales.


Tener en cuenta el orden jerárquico de los conocimientos, es decir, cuales son los conceptos estructurantes necesarios para lograr un nuevo conocimiento.


Tener en cuenta que las operaciones deben entenderse como una de las posibles formas de calcular.


La necesidad de establecer acuerdos institucionales.

La relevancia de los dos primeros aspectos se ha intentado desarrollar a lo largo de todo lo previo. Por lo cual sólo se desarrollarán los restantes a continuación:

Tener en cuenta el orden jerárquico de los conocimientos, es decir, cuales son los conceptos estructurantes necesarios para lograr un nuevo conocimiento

Si bien el currículo organiza este contenido de una manera explícita, existen otras posibles secuenciaciones que tienen en cuenta la naturaleza del objeto, las relaciones internas y entre objetos, y que por lo tanto pueden ser exploradas y fundamentadas. Teniendo en cuenta la naturaleza compleja, que no se elabora de forma lineal sino que se va complejizando al abordar las distintas situaciones.

Pena (retomando un documento francés, en la Revista de la Educación del Pueblo Nº103) propone un análisis en etapas para cada operación.

En general plantea la necesidad de conocer y manejar las propiedades de nuestro sistema de numeración decimal así como debe existir un dominio o reconocimiento de los sentidos de las operaciones.

En el caso de la suma o adición de números enteros plantea como requisito la comprensión fundamental del sistema decimal: el agrupamiento en base 10, y la eficacia en la adición de números inferiores a 10 (tabla de adición).

Para la suma de números decimales debe existir además una comprensión de la escritura de los ‘números con coma’, trasladándose así la agrupación en base 10, y el valor posicional. Un número de n–cifras: anan-1...a1a0= an×10n+ an-1×10n-1+...+ a1×101+ a0×100. Es decir, la posición de cada cifra determina la potencia a la que se eleva la base, que se va acumulando (p.ej. 735=7×102+3×101+5×100=700+30+5).

En el caso de la resta o sustracción se enumera entre otras dificultades la relacionada con la existencia de diversas técnicas (o algoritmos) que se sustentan en propiedades y principios diversos (lo cual no sucede con la suma). Igualmente se destaca que cada técnica requiere del manejo de conceptos previamente adquiridos, por ejemplo, la invariabilidad de una diferencia al agregar simultáneamente un mismo número a ambos términos de la sustracción (a – b = (a+c) – (b+c)).

La multiplicación de números naturales supone conocer y manejar las tablas de multiplicación, la numeración decimal (al "llevarse" desde una potencia a la otra tanto en los productos parciales como en la adición final), la "regla del cero", y la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

La multiplicación de decimales requiere conocer la relación entre los números decimales y los enteros (p.ej. 145,86 = 14586 / 100, o 145,86 x 100 = 14586).

La división en los enteros es una operación que se destaca por varias características, entre ellas, que el resultado es un par de ordenado de números, el cociente y el resto, se define a través del resultado (a/b = , tal que a = bxc + r), presenta incertidumbre en el momento de calcular, en tanto se utiliza la estimación incluso en los algoritmos estándar.

Evidentemente es imposible realizar en este trabajo un análisis exhaustivo de las propiedades de cada operación y en consecuencia de qué conocimientos involucra el trabajo con cada una de ellas. Esa será una tarea que invitamos al lector a realizar.

Tener en cuenta que las operaciones deben entenderse como una de las posibles formas de calcular

El cálculo es una de las opciones que surgen luego del análisis de un problema, existiendo diversas alternativas; siendo el cálculo una relación entre cantidades según propiedades y relaciones numéricas. Aquí es donde el dominio de las estructuras aditivas y multiplicativas, es decir, del campo conceptual, permitirá optar por la o las operaciones aritméticas adecuadas.

Se pueden distinguir diversas formas de cálculo. Una clasificación utilizada habitualmente reconoce: cálculo mental, cálculo escrito y cálculo instrumental. El cálculo escrito suele identificarse con las técnicas operatorias escritas, que se desarrollan mediante algoritmos y durante mucho tiempo ha sido el centro de la enseñanza escolar.

Interesa destacar la importancia de trabajar con los distintos tipos de cálculo ya que esto posibilita reconocer que el sujeto desarrolla diferentes estrategias personales, y que esas estrategias permiten construir el sentido de las operaciones y sirven de plataforma para el desarrollo de las técnicas.

El cálculo mental es el camino en la búsqueda de respuestas ante un problema y que no utiliza las técnicas operatorias (entendidas como algoritmos). Puede utilizar soportes escritos o concretos. Se asocia a la expresión de cálculo reflexivo o razonado en tanto pone énfasis en el método y no tanto en la eficiencia y velocidad del mismo.

Respecto al cálculo instrumental, teniendo en cuenta el cada vez mayor acceso a los medios tecnológicos, como computadoras, calculadoras, etc. es relevante la incorporación a la propuesta didáctica de estos instrumentos.

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